The critical exponent: a novel graph invariant

A surprising result of FitzGerald and Horn (1977) shows that A◦α := (aα ij) is positive semidefinite (p.s.d.) for every entrywise nonnegative n× n p.s.d. matrix A = (aij) if and only if α is a positive integer or α ≥ n− 2. Given a graph G, we consider the refined problem of characterizing the setHG of entrywise powers preserving positivity for matrices with a zero pattern encoded by G. Using algebraic and combinatorial methods, we study how the geometry of G influences the set HG. Our treatment provides new and exciting connections between combinatorics and analysis, and leads us to introduce and compute a new graph invariant called the critical exponent. Résumé. Un résultat surprenant de FitzGerald et Horn (1977) démontre que A◦α := (aα ij) est semi-définie positive pour chaque matrice semi-définie positive de dimension n avec des entrées non-négatives si et seulement si α est un entier positif ou α ≥ n− 2. Pour un graph G donné, nous considérons une généralization naturelle du problème en étudiant l’ensemble HG de puissances préservant la positivité des matrices ayant une structure de zéros encodée par G. À l’aide de méthodes algébriques et combinatoires, nous analysons de quelle façon la géometrie du graph G détermine l’ensemble HG. Notre travail fournit de nouvelles connexions excitantes entre la combinatoire et l’analyse, et nous mène à définir et calculer un nouvel invariant que l’on nomme l’exposant critique d’un graph.